Espace de fonctions à dérivées carré-intégrables avec conditions aux limites nulles
$$H_0^1(\Omega):=\overline{\mathcal C_c^\infty(\Omega)}^{H^1(\Omega)}$$
- en fait constitué des fonctions de \(H^1(\Omega)\) qui s'annulent sur le bord \(\partial\Omega\)
- c'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire de \(H^1\)
- inégalité de Poincaré dans \(H^1\) : $$\exists C_P\gt 0,\forall v\in H^1_0(\Omega),\quad\int_\Omega\lvert v(x)\rvert^2\,dx\leqslant C\int_\Omega\lvert\nabla v(x)\rvert^2\,dx$$
- on a donc \(H^1_0(\Omega)\subsetneq H^1(\Omega)\) (car \(H^1(\Omega)\) ne vérifie pas l'inégalité de Poincaré)
- la semi-norme \(\displaystyle\lvert v\rvert_{H^1_0(\Omega)}:=\sqrt{\int_\Omega\lvert\nabla v(x)\rvert^2\,dx}\) est une norme équivalente à la norme équivalente à celle induite par \(H^1(\Omega)\)
Espace des fonctions test,
Espace de Sobolev
